kaoyan3basic 高等数学 第84题

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📝 题目

### 第84题 84 已知 $y_{1}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}, y_{2}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}, y_{3}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-x}$ 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为 $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

**答案**：$y''-y'-2y=(1-2x)\mathrm{e}^x$ **解析**： 步骤1：$y_1-y_3=\mathrm{e}^{-x}$，$y_2-y_3=-\mathrm{e}^{2x}$，故齐次解基为$\mathrm{e}^{-x}$和$\mathrm{e}^{2x}$，特征根$r_1=-1,r_2=2$，特征方程$r^2-r-2=0$，齐次方程$y''-y'-2y=0$。 步骤2：非齐次特解可取$y^*=y_1=x\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{2x}$，代入齐次方程左边得$(x\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{2x})''-(x\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{2x})'-2(x\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{2x})$。 步骤3：计算得$(x\mathrm{e}^x)''=(x+2)\mathrm{e}^x$，$(x\mathrm{e}^x)'=(x+1)\mathrm{e}^x$，$(\mathrm{e}^{2x})''=4\mathrm{e}^{2x}$，$(\mathrm{e}^{2x})'=2\mathrm{e}^{2x}$，代入得$[(x+2)\mathrm{e}^x+4\mathrm{e}^{2x}]-[(x+1)\mathrm{e}^x+2\mathrm{e}^{2x}]-2[x\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{2x}]=(1-2x)\mathrm{e}^x$。 步骤4：故微分方程为$y''-y'-2y=(1-2x)\mathrm{e}^x$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：确定齐次方程
由解的结构，y1-y3=e^{-x}，y2-y3=-e^{2x}，故齐次解基为e^{-x}和e^{2x}，特征根r1=-1，r2=2，特征方程r^2-r-2=0，齐次方程为y''-y'-2y=0。
公式：y''-y'-2y=0
提示：非齐次方程任意两解之差为齐次解。
步骤 2/4
目标：选取非齐次特解
取非齐次特解y*=y1=xe^x+e^{2x}。
公式：y*=xe^x+e^{2x}
提示：特解可任选一个已知解。
步骤 3/4
目标：计算非齐次项
将y*代入齐次方程左边：计算y*''-y*'-2y*。先求导：y*'=(x+1)e^x+2e^{2x}，y*''=(x+2)e^x+4e^{2x}。代入得[(x+2)e^x+4e^{2x}]-[(x+1)e^x+2e^{2x}]-2[xe^x+e^{2x}]=(1-2x)e^x。
公式：y*''-y*'-2y*=(1-2x)e^x
提示：注意合并同类项。
步骤 4/4
目标：写出微分方程
非齐次项为(1-2x)e^x，故微分方程为y''-y'-2y=(1-2x)e^x。
公式：y''-y'-2y=(1-2x)e^x

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