kaoyan3basic 高等数学 第85题
📝 题目
### 第85题 85 设 $u=u\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\left(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0\right)$ 有二阶连续的偏导数，且满足 $$ $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\frac{1}{x} \frac{\partial u}{\partial x}+u=x^{2}+y^{2}$ $$ 则 $u\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle u(r)=C_1r^{-\frac{1}{2}}J_{\frac{1}{2}}(r)+C_2r^{-\frac{1}{2}}Y_{\frac{1}{2}}(r)+r^2$（其中$\displaystyle J_{\frac{1}{2}},Y_{\frac{1}{2}}$为Bessel函数） **解析**： 步骤1：令$r=\sqrt{x^2+y^2}$，则$u=u(r)$，计算偏导数：$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=u'\frac{x}{r}$，$\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=u''\frac{x^2}{r^2}+u'\frac{r^2-x^2}{r^3}$，同理对$y$。 步骤2：代入方程得$\displaystyle u''+u'\frac{1}{r}-\frac{1}{x}\cdot u'\frac{x}{r}+u=r^2$，即$u''+u'+u=r^2$（注意$\displaystyle \frac{1}{x}\cdot\frac{x}{r}=\frac{1}{r}$，故$\displaystyle u'\frac{1}{r}-u'\frac{1}{r}=0$）。 步骤3：方程化为$u''+u'+u=r^2$，齐次解为$\displaystyle u_h=C_1\mathrm{e}^{-\frac{r}{2}}\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}r)+C_2\mathrm{e}^{-\frac{r}{2}}\sin(\frac{\sqrt{3}}{2}r)$，特解设为$u_p=Ar^2+Br+C$，代入得$2A+(2Ar+B)+Ar^2+Br+C=r^2$，比较系数得$A=1,B=-2,C=2$，故$u_p=r^2-2r+2$。 步骤4：通解$\displaystyle u(r)=C_1\mathrm{e}^{-\frac{r}{2}}\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}r)+C_2\mathrm{e}^{-\frac{r}{2}}\sin(\frac{\sqrt{3}}{2}r)+r^2-2r+2$。 **难度**：★★★★☆