kaoyan3basic 高等数学 第621题
📝 题目
### 第621题 621 当 $x \rightarrow 0$ 时，下述一些无穷小与 $x^{3}$ 为同阶无穷小的是 （A）$\alpha(x)=x^{3}+x^{2}$ ． （B）$\displaystyle \beta(x)=\frac{1-\cos x}{x}$ ． （C）$\gamma(x)=\int_{0}^{\ln (1+x)}\left(\mathrm{e}^{t^{2}}-1\right) \mathrm{d} t$ ． （D）$\delta(x)=(1+\sin x)^{\ln (1+x)}-1$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：A：$\alpha(x) = x^3 + x^2 \sim x^2$，与$x^3$不同阶。 步骤2：B：$\displaystyle \beta(x) = \frac{1-\cos x}{x} \sim \frac{x^2/2}{x} = \frac{x}{2}$，与$x^3$不同阶。 步骤3：C：当$x \to 0$时，$\ln(1+x) \sim x$，被积函数$\mathrm{e}^{t^2} - 1 \sim t^2$，故$\displaystyle \gamma(x) \sim \int_0^x t^2 \mathrm{d}t = \frac{x^3}{3}$，与$x^3$同阶。 步骤4：D：$(1+\sin x)^{\ln(1+x)} - 1 = \mathrm{e}^{\ln(1+x) \ln(1+\sin x)} - 1 \sim \ln(1+x) \ln(1+\sin x) \sim x \cdot x = x^2$，与$x^3$不同阶。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断选项A是否与x^3同阶
α(x)=x^3+x^2，当x→0时，主要项为x^2，故α(x)~x^2，与x^3不同阶。
公式：x^3+x^2 ~ x^2 (x→0)
提示：比较阶数时，取最低次幂项。
步骤 2/4
目标：判断选项B是否与x^3同阶
β(x)=(1-cos x)/x，利用1-cos x~x^2/2，得β(x)~(x^2/2)/x=x/2，与x^3不同阶。
公式：1-cos x ~ x^2/2
提示：常用等价无穷小替换。
步骤 3/4
目标：判断选项C是否与x^3同阶
当x→0时，ln(1+x)~x，被积函数e^(t^2)-1~t^2，故γ(x)~∫_0^x t^2 dt = x^3/3，与x^3同阶。
公式：∫_0^x t^2 dt = x^3/3
提示：积分上限等价替换，被积函数等价替换。
步骤 4/4
目标：判断选项D是否与x^3同阶
δ(x)=(1+sin x)^(ln(1+x))-1，利用a^b-1~b ln a，得δ(x)~ln(1+x) ln(1+sin x)~x·x=x^2，与x^3不同阶。
公式：a^b-1 ~ b ln a (a→1, b→0)
提示：指数型函数常用等价无穷小。
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