kaoyan3basic 高等数学 第620题
📝 题目
### 第620题 620 设 $f(x)=\arctan x$ ，则 $f^{\prime \prime \prime}(x)=$ （A）$\displaystyle \frac{2\left(3 x^{2}+1\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}$ ． （B）$\displaystyle \frac{2\left(3 x^{2}-1\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}$ ． （C）$\displaystyle \frac{3 x^{2}+1}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}$ ． （D）$\displaystyle \frac{2\left(3 x^{2}-1\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$\displaystyle f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$。 步骤2：$\displaystyle f''(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$。 步骤3：$\displaystyle f'''(x) = -\frac{2(1+x^2)^2 - 2x \cdot 2(1+x^2) \cdot 2x}{(1+x^2)^4} = -\frac{2(1+x^2) - 8x^2}{(1+x^2)^3} = \frac{2(3x^2 - 1)}{(1+x^2)^3}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求一阶导数
对 f(x)=arctan x 求导，得到 f'(x)=1/(1+x^2)。
公式：d/dx arctan x = 1/(1+x^2)
提示：记住基本导数公式。
步骤 2/3
目标：求二阶导数
对 f'(x)=1/(1+x^2) 求导，使用商法则或链式法则，得到 f''(x) = -2x/(1+x^2)^2。
公式：d/dx (1/(1+x^2)) = -2x/(1+x^2)^2
提示：注意负号。
步骤 3/3
目标：求三阶导数
对 f''(x) = -2x/(1+x^2)^2 求导，使用商法则：f'''(x) = [ -2(1+x^2)^2 - (-2x)*2(1+x^2)*2x ] / (1+x^2)^4 = [ -2(1+x^2) + 8x^2 ] / (1+x^2)^3 = (2(3x^2-1))/(1+x^2)^3。
公式：商法则：d/dx (u/v) = (u'v - uv')/v^2
提示：化简时注意符号和公因式。
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