kaoyan3basic 高等数学 第622题
📝 题目
### 第622题 $\displaystyle 622 \lim _{n \rightarrow \infty}\left(n^{2} \mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-\frac{n^{3}}{n-1}\right)=$ （A） 2 ． （B）-2 ． （C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （D）$\displaystyle -\frac{1}{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：原式$\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \left( n^2 \mathrm{e}^{1/n} - \frac{n^3}{n-1} \right)$。 步骤2：令$t = 1/n$，则$n \to \infty$时$t \to 0^+$，原式$\displaystyle = \lim_{t \to 0^+} \left( \frac{\mathrm{e}^t}{t^2} - \frac{1}{t^3(1/t - 1)} \right) = \lim_{t \to 0^+} \left( \frac{\mathrm{e}^t}{t^2} - \frac{1}{t^2(1 - t)} \right)$。 步骤3：通分得$\displaystyle \lim_{t \to 0^+} \frac{\mathrm{e}^t (1-t) - 1}{t^2(1-t)} = \lim_{t \to 0^+} \frac{(1+t+t^2/2+o(t^2))(1-t) - 1}{t^2} = \lim_{t \to 0^+} \frac{1 - t + t + t^2/2 - t^2/2 + o(t^2) - 1}{t^2} = \lim_{t \to 0^+} \frac{-t^2/2 + o(t^2)}{t^2} = -\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆