kaoyan3basic 高等数学 第623题
📝 题目
### 第623题 623 设 $u_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ 并设数列 $\left\{u_{n}\right\}$ 无上界，则 （A）数列 $\displaystyle \left\{\frac{1}{u_{n}}\right\}$ 必有上界． （B）必有 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=+\infty$ ． （C）对于任意给定的 $M>0$ ，满足 $u_{n}
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：数列$\{u_n\}$无上界，即对任意$M>0$，存在$n$使得$u_n > M$，但未必对所有$n$成立，故D正确。 步骤2：A错误，反例：$u_n = n$，则$1/u_n$有上界，但若$u_n$取$1,2,1,3,1,4,\dots$，则$1/u_n$无上界。 步骤3：B错误，反例：$u_n = n$（偶数项为$n$，奇数项为$1$），无上界但极限不存在。 步骤4：C错误，反例：$u_n = n$，对$M=0.5$，满足$u_n < M$的$n$不存在，但若$u_n$有界则矛盾。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解数列无上界的定义
数列 {u_n} 无上界意味着：对于任意给定的 M>0，存在某个 n 使得 u_n > M。但注意，这并不要求对所有 n 成立，只要求存在无穷多个 n 满足条件。
提示：无上界定义：∀M>0, ∃n∈N, u_n > M。
步骤 2/5
目标：分析选项D的正确性
由无上界定义，对任意 M>0，存在 n 使得 u_n > M。但需要证明这样的 n 有无穷多个。反证：若只有有限个 n 满足 u_n > M，则存在最大下标 N，之后所有 u_n ≤ M，那么数列有上界 max{u_1,...,u_N, M}，矛盾。因此满足 u_n > M 的 n 必有无限个。
提示：注意：无上界保证存在性，但需要结合反证法得到无限性。
步骤 3/5
目标：分析选项A的错误
反例：取 u_n = n，则 1/u_n 有上界 1，但若取 u_n = 1,2,1,3,1,4,...，则 1/u_n 无上界。因此 A 不一定成立。
提示：构造反例时，让 u_n 有时很小，则 1/u_n 很大。
步骤 4/5
目标：分析选项B的错误
反例：取 u_n = n（当 n 为偶数），u_n = 1（当 n 为奇数），则数列无上界，但极限不存在，更不是 +∞。
提示：无上界不一定趋于无穷，可能震荡。
步骤 5/5
目标：分析选项C的错误
反例：取 u_n = n，对 M=0.5，满足 u_n < M 的 n 不存在（0个），但若 M 很大，比如 M=100，则只有有限个 n 满足 u_n < M？实际上，对于 u_n = n，当 M 固定时，只有 n < M 的有限个满足，但题目说“对于任意给定的 M>0”，当 M 很小时，可能没有这样的 n，但 C 声称“只有有限个”，这并不总是错？注意：C 说“满足 u_n < M 的 n 只有有限个”，对于 u_n = n，当 M=0.5 时，满足条件的 n 为0个，是有限个，所以 C 在此反例下成立？但我们需要一个反例使 C 不成立。实际上，若数列无上界，但可能有很多项很小，比如 u_n = 1/n 当 n 为奇数，u_n = n 当 n 为偶数，则对 M=1，满足 u_n < 1 的 n 有无穷多个（所有奇数），所以 C 错误。
提示：注意：无上界并不排除有无限多个小项。
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