kaoyan3basic 高等数学 第624题
📝 题目
### 第624题 624 将 $x \rightarrow 0^{+}$时的三个无穷小量 $\alpha=\int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t, \beta=\int_{0}^{x^{2}} \sin \sqrt{t} \mathrm{~d} t, \gamma=\sqrt{1-x^{2}}-1$ 排列起来，使得排在后面一个是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 （A）$\alpha, \beta, \gamma$ ． （B）$\alpha, \gamma, \beta$ ． （C）$\beta, \alpha, \gamma$ ． （D）$\beta, \gamma, \alpha$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$x \to 0^+$时，$\alpha = \int_0^x \cos t^2 \mathrm{d}t \sim \int_0^x 1 \mathrm{d}t = x$，故$\alpha$为$x$的一阶无穷小。 步骤2：$\beta = \int_0^{x^2} \sin \sqrt{t} \mathrm{d}t$，令$u = \sqrt{t}$，则$\displaystyle \beta = \int_0^x \sin u \cdot 2u \mathrm{d}u \sim \int_0^x 2u^2 \mathrm{d}u = \frac{2}{3}x^3$，故$\beta$为$x$的三阶无穷小。 步骤3：$\displaystyle \gamma = \sqrt{1-x^2} - 1 \sim -\frac{1}{2}x^2$，故$\gamma$为$x$的二阶无穷小。 步骤4：阶数从低到高为$\alpha$（一阶）、$\gamma$（二阶）、$\beta$（三阶），故排列为$\alpha, \gamma, \beta$。 **难度**：★★★☆☆