kaoyan3basic 高等数学 第625题
📝 题目
### 第625题 625 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\left(\frac{1+a x}{1-a x}\right)^{\frac{1}{x}}, & x \neq 0 \\ \mathrm{e}, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则常数 $a=$ （A）1． （B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （C） 2 ． （D） e ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$f(x)$在$x=0$处连续，则$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = \mathrm{e}$。 步骤2：$\displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \frac{1+ax}{1-ax} \right)^{1/x} = \mathrm{e}^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left( \frac{1+ax}{1-ax} \right)}$。 步骤3：$\displaystyle \ln\left( \frac{1+ax}{1-ax} \right) = \ln(1+ax) - \ln(1-ax) \sim 2ax$，故极限$= \mathrm{e}^{2a}$。 步骤4：由$\mathrm{e}^{2a} = \mathrm{e}$得$2a = 1$，即$\displaystyle a = \frac{1}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用连续条件建立方程
由f(x)在x=0处连续，得lim_{x→0} f(x) = f(0) = e。
公式：lim_{x→0} f(x) = f(0)
提示：连续的定义：极限值等于函数值。
步骤 2/4
目标：将极限转化为指数形式
lim_{x→0} ((1+ax)/(1-ax))^{1/x} = e^{lim_{x→0} (1/x) ln((1+ax)/(1-ax))}。
公式：lim u^v = e^{lim v ln u}
提示：1^∞型极限常用此转化。
步骤 3/4
目标：计算对数部分的等价无穷小
ln((1+ax)/(1-ax)) = ln(1+ax) - ln(1-ax) ~ 2ax (x→0)。
公式：ln(1+u) ~ u (u→0)
提示：注意ln(1-ax) ~ -ax，相减得2ax。
步骤 4/4
目标：求出极限值并解出a
lim_{x→0} (1/x)·2ax = 2a，故极限为e^{2a}。由e^{2a}=e得2a=1，a=1/2。
公式：e^{2a} = e ⇒ 2a=1
提示：指数相等则指数部分相等。
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