kaoyan3basic 高等数学 第240题
📝 题目
### 第240题 240 函数 $f(x, y)$ 的两个偏导数在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续是函数 $f(x, y)$ 在该点处可微的 （A）充分但非必要条件． （B）必要但非充分条件． （C）充分必要条件． （D）既不充分也不必要条件．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：若两个偏导数在$(x_0,y_0)$处连续，则$f(x,y)$在该点可微（充分性成立）。步骤2：可微不能推出偏导数连续（反例：$\displaystyle f(x,y)=\begin{cases}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2},&(x,y)\neq(0,0)\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$在$(0,0)$处可微但偏导不连续），故非必要条件。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：判断充分性
若两个偏导数在点(x0,y0)处连续，则根据可微的充分条件，函数f(x,y)在该点可微。因此，条件是充分的。
提示：偏导数连续是可微的充分条件，但不是必要条件。
步骤 2/2
目标：判断必要性
考虑反例：f(x,y) = (x^2+y^2) sin(1/(x^2+y^2))，当(x,y)≠(0,0)时，且f(0,0)=0。该函数在(0,0)处可微，但偏导数不连续。因此，条件不是必要的。
提示：可微不能推出偏导数连续。
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