kaoyan3basic 高等数学 第239题
📝 题目
### 第239题 239 设 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则 （A）$f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续． （B） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 存在． （C） $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f\left(x, y_{0}\right)=\lim _{y \rightarrow y_{0}} f\left(x_{0}, y\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ． （D）$f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：偏导数存在不能推出连续（反例：$\displaystyle f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2},&(x,y)\neq(0,0)\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$在$(0,0)$处偏导存在但不连续），故A、B错误。步骤2：偏导数存在不能推出可微，故D错误。步骤3：由偏导数定义，$\displaystyle f_x'(x_0,y_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}$存在，故$\lim_{x\to x_0}f(x,y_0)=f(x_0,y_0)$，同理$\lim_{y\to y_0}f(x_0,y)=f(x_0,y_0)$，C正确。 **难度**：★★☆☆☆