kaoyan3basic 高等数学 第238题
📝 题目
### 第238题 238 如果 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，那么下列命题正确的是 （A）若极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微． （B）若极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微． （C）若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在． （D）若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：若$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{x^2+y^2}$存在，则$f(0,0)=0$，且$f(x,y)=O(x^2+y^2)$，故$f(x,y)-f(0,0)=o(\rho)$，可微。步骤2：A中分母为$|x|+|y|$，只能推出$f(x,y)=o(|x|+|y|)$，不足以保证线性逼近。C、D反例：$f(x,y)=|x|+|y|$可微？实际上不可微，但若$f$可微，则$f(x,y)=ax+by+o(\rho)$，除以$|x|+|y|$极限不一定存在（如沿不同方向）。故B正确。 **难度**：★★★☆☆