kaoyan3basic 高等数学 第237题
📝 题目
### 第237题 237 函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微的充分条件是 （A） $\lim _{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim _{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ ． （B） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$ ． （C） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}$ 和 $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}$ 都存在． （D） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{x}^{\prime}(x, y)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{y}^{\prime}(x, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：A仅保证沿坐标轴方向偏导数连续，不足；B仅连续，不足；C仅偏导数存在，不足。步骤2：D表明偏导数在(0,0)连续，是可微的充分条件。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析选项A
选项A只保证了偏导数在坐标轴方向上的连续性，但不足以推出可微性。例如，函数可能在其他方向不连续或不可微。
提示：偏导数沿坐标轴连续不是可微的充分条件。
步骤 2/4
目标：分析选项B
选项B只说明函数在(0,0)连续，但连续不能推出可微。
提示：连续是可微的必要条件，非充分。
步骤 3/4
目标：分析选项C
选项C只说明两个偏导数存在，但偏导数存在不能推出可微。例如，函数可能不可微。
提示：偏导数存在是可微的必要条件，非充分。
步骤 4/4
目标：分析选项D
选项D表明偏导数在(0,0)连续，根据可微的充分条件：若偏导数在点连续，则函数在该点可微。因此D正确。
提示：偏导数连续是可微的充分条件。
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