kaoyan3basic 高等数学 第235题
📝 题目
### 第235题 235 设 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)+2 x-y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=1$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）不连续． （B）连续但两个偏导数不存在． （C）两个偏导数存在但不可微。 （D）可微． 236设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-1}{x^{2}+y^{2}}=2$ ，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：由极限式，$\lim_{(x,y)\to(0,0)} [f(x,y)-f(0,0)+2x-y]=0$，故$f(0,0)=0$。步骤2：令$\displaystyle \frac{f(x,y)-f(0,0)+2x-y}{\sqrt{x^2+y^2}} = 1+\varepsilon$，则$f(x,y)-f(0,0) = -2x+y + \sqrt{x^2+y^2}(1+\varepsilon)$。步骤3：由可微定义，$f(x,y)-f(0,0) = -2x+y + o(\rho)$，故可微，且$f_x'(0,0)=-2, f_y'(0,0)=1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定f(0,0)的值
由极限式，分母趋于0，分子必须趋于0，因此lim_{(x,y)→(0,0)} [f(x,y)-f(0,0)+2x-y] = 0，代入(0,0)得f(0,0)=0。
提示：极限存在且分母趋于0，则分子必趋于0。
步骤 2/3
目标：将极限式转化为等式
设极限值为1，则存在无穷小ε（当(x,y)→(0,0)时ε→0），使得 [f(x,y)-f(0,0)+2x-y] / √(x^2+y^2) = 1+ε，即 f(x,y)-f(0,0) = -2x+y + √(x^2+y^2)(1+ε)。
公式：f(x,y)-f(0,0) = -2x+y + √(x^2+y^2)(1+ε)
提示：利用极限定义，将极限式写成等式形式。
步骤 3/3
目标：判断可微性
由可微定义，f(x,y)-f(0,0) = A x + B y + o(ρ)，其中ρ=√(x^2+y^2)。对比得A=-2，B=1，且√(x^2+y^2)(1+ε) = o(ρ)（因为ε→0），因此f在(0,0)处可微。
公式：f(x,y)-f(0,0) = -2x+y + o(ρ)
提示：可微要求线性部分与余项为ρ的高阶无穷小。
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