kaoyan3basic 高等数学 第234题
📝 题目
### 第234题 234 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）连续，但偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （B）连续且偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 都存在，但不可微． （C）可微但 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 不连续． （D）可微且 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 连续．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$\displaystyle |f(x,y)|\leq \frac{x^4+y^4}{x^2+y^2} \leq x^2+y^2 \to 0$，连续。步骤2：$\displaystyle f_x'(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{x^4/x^2}{x}=0$，同理$f_y'(0,0)=0$。步骤3：可微性：$\displaystyle \frac{f(x,y)-0}{\rho} = \frac{x^4-y^4}{(x^2+y^2)^{3/2}}$，取$y=0$得$\displaystyle \frac{x^4}{|x|^3}=|x|\to0$，取$x=0$得$\displaystyle -\frac{y^4}{|y|^3}=-|y|\to0$，但沿$y=x$得0，沿$y=2x$得$\displaystyle \frac{x^4-16x^4}{(5x^2)^{3/2}} = \frac{-15x^4}{5\sqrt{5}|x|^3} = -\frac{3}{\sqrt{5}}|x| \to 0$，实际上极限为0？需严格判断：$\displaystyle \left|\frac{x^4-y^4}{(x^2+y^2)^{3/2}}\right| \leq \frac{(x^2+y^2)^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} = \sqrt{x^2+y^2} \to 0$，故可微。选B？但可微，检查偏导数连续性：$\displaystyle f_x'(x,y)=\frac{4x^3(x^2+y^2)-2x(x^4-y^4)}{(x^2+y^2)^2}$，沿$y=0$得$f_x'(x,0)=4x$，极限为0，但沿$y=x$得$\displaystyle f_x'(x,x)=\frac{4x^3\cdot2x^2-2x(0)}{(2x^2)^2}= \frac{8x^5}{4x^4}=2x\to0$，似乎连续？实际上$f_x'(0,0)=0$，且$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f_x'(x,y)=0$，故偏导数连续，选D。但常见结论是此函数可微且偏导数连续。 **答案更正**：D **难度**：★★★☆☆