kaoyan3basic 高等数学 第233题
📝 题目
### 第233题 233 已知函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点的某邻域内有定义，则 $\lim _{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=f_{x}^{\prime}(0,0), ~ \lim _{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0$ ， $y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微的 （A）充分条件但非必要条件． （B）必要条件但非充分条件． （C）充分必要条件． （D）既非必要也非充分条件．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：条件$\lim_{x\to0}f_x'(x,0)=f_x'(0,0)$和$\lim_{y\to0}f_y'(0,y)=f_y'(0,0)$是偏导数在(0,0)沿坐标轴方向连续，但不足以保证可微（反例见第9题）。步骤2：可微也不保证偏导数沿坐标轴连续（反例见第10题）。故既非必要也非充分。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解条件含义
条件 $\lim_{x\to 0} f_x'(x,0)=f_x'(0,0)$ 和 $\lim_{y\to 0} f_y'(0,y)=f_y'(0,0)$ 表示偏导数 $f_x'$ 在 $(0,0)$ 处沿 $x$ 轴方向连续，$f_y'$ 在 $(0,0)$ 处沿 $y$ 轴方向连续。
提示：注意这是沿坐标轴方向的连续性，并非全微分中的偏导数连续性条件。
步骤 2/4
目标：判断充分性
该条件不是可微的充分条件。存在反例：函数 $f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}$ 在 $(0,0)$ 处偏导数存在且沿坐标轴连续，但不可微。
提示：反例中偏导数沿坐标轴连续，但函数在 $(0,0)$ 不连续，故不可微。
步骤 3/4
目标：判断必要性
该条件也不是可微的必要条件。存在反例：函数 $f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}$ 在 $(0,0)$ 可微，但偏导数 $f_x'$ 在 $(0,0)$ 处沿 $x$ 轴不连续。
提示：可微时偏导数不一定连续，更不一定沿坐标轴连续。
步骤 4/4
目标：得出结论
由于条件既非充分也非必要，故选 D。
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