📝 题目
### 第231题 231 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）不连续． （B）连续，但偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （C）连续且偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 都存在，但不可微． （D）全微分存在但一阶偏导数 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 不连续． 232 设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}x y, & x y \neq 0, \\ 1, & x y=0,\end{array}\right.$ 则下列命题成立的个数为
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$|f(x,y)|\leq |xy| \to 0$，连续。步骤2：$\displaystyle f_x'(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{0-0}{x}=0$，同理$f_y'(0,0)=0$。步骤3：可微性：$\displaystyle \frac{|f(x,y)|}{\rho} \leq \frac{|xy|}{\rho} \leq \rho \to 0$，故可微。步骤4：偏导数$\displaystyle f_x'(x,y)=y\sin\frac{1}{\rho} - \frac{xy}{\rho^3}\cos\frac{1}{\rho}$，沿$y=x$趋于0时极限不存在，故不连续。选D。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
目标：判断连续性
由于 |f(x,y)| = |xy sin(1/√(x²+y²))| ≤ |xy|，当 (x,y)→(0,0) 时，|xy|→0，所以 f(x,y)→0 = f(0,0)，因此 f(x,y) 在 (0,0) 处连续。
公式：|f(x,y)| ≤ |xy|
提示：利用有界函数乘以无穷小仍为无穷小。
目标：计算偏导数 f_x'(0,0) 和 f_y'(0,0)
由定义：f_x'(0,0) = lim_{x→0} [f(x,0)-f(0,0)]/x = lim_{x→0} (0-0)/x = 0；同理 f_y'(0,0)=0。
公式：f_x'(0,0) = lim_{Δx→0} [f(Δx,0)-f(0,0)]/Δx
提示：注意 f(x,0)=0 对任意 x 成立。
目标：判断可微性
考虑增量 Δf = f(x,y)-f(0,0) = xy sin(1/√(x²+y²))，线性部分为 0。需验证 lim_{(x,y)→(0,0)} |Δf|/ρ = 0，其中 ρ=√(x²+y²)。由于 |Δf|/ρ ≤ |xy|/ρ ≤ ρ → 0，故可微。
公式：lim_{(x,y)→(0,0)} |f(x,y)-f(0,0)-f_x'(0,0)x-f_y'(0,0)y|/√(x²+y²) = 0
提示：利用 |xy| ≤ (x²+y²)/2 或直接放缩。
目标：判断偏导数的连续性
当 (x,y)≠(0,0) 时，f_x'(x,y) = y sin(1/ρ) - (xy/ρ³) cos(1/ρ)。沿 y=x 趋于 (0,0) 时，f_x'(x,x) = x sin(1/(√2|x|)) - (x²/(2√2|x|³)) cos(1/(√2|x|))，当 x→0 时，第一项趋于0，第二项中 x²/|x|³ = 1/|x| 无界且振荡，故极限不存在。因此 f_x'(x,y) 在 (0,0) 处不连续，同理 f_y'(x,y) 也不连续。
公式：f_x'(x,y) = y sin(1/ρ) - (xy/ρ³) cos(1/ρ)
提示：取特殊路径 y=x 可简化分析。