kaoyan3basic 高等数学 第230题
📝 题目
### 第230题 230 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）两个偏导数都不存在． （B）两个偏导数都存在但不可微． （C）偏导数连续． （D）可微但偏导数不连续． □
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$\displaystyle f_x'(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{0-0}{x}=0$，同理$f_y'(0,0)=0$，偏导数存在。步骤2：检查可微性：$\displaystyle \lim_{\rho\to0}\frac{f(x,y)-0}{\rho} = \lim\frac{|xy|}{\rho^2}$，取$y=x$得$\displaystyle \frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2}\neq0$，故不可微。选B。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算偏导数是否存在
根据偏导数定义，计算 f_x'(0,0) = lim_{x→0} [f(x,0)-f(0,0)]/x = lim_{x→0} (0-0)/x = 0，同理 f_y'(0,0)=0，因此两个偏导数都存在。
公式：f_x'(0,0) = lim_{Δx→0} [f(Δx,0)-f(0,0)]/Δx
提示：注意 f(x,0)=0 对于所有 x，所以极限为0。
步骤 2/2
目标：检查可微性
利用可微定义，考虑极限 lim_{ρ→0} [f(x,y)-f(0,0)-f_x'(0,0)x-f_y'(0,0)y]/ρ = lim_{ρ→0} f(x,y)/ρ，其中 ρ=√(x^2+y^2)。代入 f(x,y)=xy/√(x^2+y^2)，得 lim_{ρ→0} |xy|/ρ^2。取路径 y=x，则极限为 lim_{x→0} |x^2|/(2x^2)=1/2 ≠ 0，故不可微。
公式：lim_{ρ→0} [f(x,y)-f(0,0)-f_x'(0,0)x-f_y'(0,0)y]/ρ = 0 时函数可微
提示：选择特殊路径 y=x 可简化计算，注意绝对值处理。
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