kaoyan3basic 高等数学 第228题
📝 题目
### 第228题 228 极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ （A）不存在． （B）等于 1 ． （C）等于 0 ． （D）等于 2 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：令$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，则原式$=r^2\cos\theta\sin\theta \ln(r^2)=2r^2\ln r \cdot \cos\theta\sin\theta$。步骤2：$\lim_{r\to0} r^2\ln r = 0$，故极限为0。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将直角坐标转化为极坐标
令 x = r cosθ, y = r sinθ，则 x^2 + y^2 = r^2，且 (x,y)→(0,0) 等价于 r→0。
公式：x = r cosθ, y = r sinθ
提示：极坐标变换常用于处理含 x^2+y^2 的极限。
步骤 2/3
目标：代入并化简表达式
代入得 xy ln(x^2+y^2) = (r cosθ)(r sinθ) ln(r^2) = r^2 cosθ sinθ * 2 ln r = 2 r^2 ln r cosθ sinθ。
公式：xy ln(x^2+y^2) = 2 r^2 ln r cosθ sinθ
提示：注意 ln(r^2)=2 ln r。
步骤 3/3
目标：求极限
由于 |cosθ sinθ| ≤ 1，且 lim_{r→0} r^2 ln r = 0，故原极限 = 0。
公式：lim_{r→0} r^2 ln r = 0
提示：r^2 ln r 是无穷小乘以无穷大，但 r^2 趋于0的速度更快，极限为0。
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