kaoyan3basic 高等数学 第227题
📝 题目
### 第227题 227 二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）连续． （B）不连续且 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （C）不连续且 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （D）不可微． □
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：沿$y=kx^2$，$\displaystyle f(x,kx^2)=\frac{kx^4}{x^4+k^2x^4}=\frac{k}{1+k^2}$，极限随$k$变化，故不连续。步骤2：偏导数$\displaystyle f_x'(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{0-0}{x}=0$存在，同理$f_y'(0,0)=0$存在。步骤3：由于不连续，故不可微。选D。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断连续性
考虑路径 y = kx^2，代入函数得 f(x, kx^2) = k/(1+k^2)，极限随 k 变化，故极限不存在，函数在 (0,0) 不连续。
公式：f(x, kx^2) = k/(1+k^2)
提示：选择特殊路径时，通常取 y 为 x 的幂次，使分母次数匹配。
步骤 2/3
目标：计算偏导数
f_x'(0,0) = lim_{x→0} [f(x,0)-f(0,0)]/x = lim_{x→0} 0/x = 0，存在。同理 f_y'(0,0) = lim_{y→0} [f(0,y)-f(0,0)]/y = 0，存在。
公式：f_x'(0,0) = lim_{x→0} (f(x,0)-0)/x
提示：偏导数存在只需沿坐标轴方向极限存在。
步骤 3/3
目标：判断可微性
由于函数在 (0,0) 不连续，故不可微。
提示：可微的必要条件是连续，不连续则一定不可微。
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