kaoyan3basic 高等数学 第226题
📝 题目
### 第226题 226 二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin \left(x^{2} y+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）不连续． （B）连续且 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （C）连续且 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 存在． （D）可微．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：判断连续性。$\displaystyle |f(x,y)| \leq \frac{|x^2y+y^4|}{x^2+y^2} \leq \frac{x^2|y|+y^4}{x^2+y^2} \leq |y|+y^2 \to 0$，故连续。步骤2：求$\displaystyle f_x'(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-0}{x}=0$存在；$\displaystyle f_y'(0,0)=\lim_{y\to0}\frac{f(0,y)-0}{y}=\lim_{y\to0}\frac{y^4/y^2}{y}=0$存在。步骤3：检查可微性：$\displaystyle \lim_{\rho\to0}\frac{f(x,y)-0-0\cdot x-0\cdot y}{\rho} = \lim\frac{\sin(x^2y+y^4)}{(x^2+y^2)^{3/2}}$，取$y=x$得$\displaystyle \frac{\sin(x^3+x^4)}{(2x^2)^{3/2}} \sim \frac{x^3}{2\sqrt{2}|x|^3}$极限不存在，故不可微。因此连续且$f_y'(0,0)$存在，选C。 **难度**：★★★☆☆