kaoyan3basic 高等数学 第225题
📝 题目
### 第225题 225 设函数 $f(x)$ 连续，且满足 $f(x)=\cos 2 x-4 \int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $f(x)=$ （A） $\cos 2 x-x \sin 2 x$ ． （B） $\cos 2 x+x \sin 2 x$ ． （C） $\sin 2 x-x \cos 2 x$ ． （D） $\sin 2 x+x \cos 2 x$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：将积分方程化为微分方程。两边求导得$f'(x) = -2\sin2x - 4\int_0^x f(t)dt$，再求导得$f''(x) = -4\cos2x - 4f(x)$。步骤2：解微分方程$f''+4f = -4\cos2x$，特征根$r=\pm2i$，特解形式$f^*=x(A\cos2x+B\sin2x)$。步骤3：代入得$A=0, B=-1$，故$f(x)=C_1\cos2x+C_2\sin2x - x\sin2x$。由原方程令$x=0$得$f(0)=1$，得$C_1=1$；由$f'(0)=0$得$C_2=0$。故$f(x)=\cos2x - x\sin2x$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将积分方程化为微分方程
对原方程两边求导：f'(x) = -2sin2x - 4∫_0^x f(t)dt；再求导：f''(x) = -4cos2x - 4f(x)。
公式：f'(x) = -2sin2x - 4∫_0^x f(t)dt, f''(x) = -4cos2x - 4f(x)
提示：注意对含参变量积分求导的莱布尼茨法则。
步骤 2/3
目标：解微分方程
得到二阶常系数线性微分方程：f''+4f = -4cos2x。特征方程r^2+4=0，特征根r=±2i。齐次解为C1cos2x+C2sin2x。设特解形式f*=x(Acos2x+Bsin2x)，代入方程解得A=0, B=-1。故通解f(x)=C1cos2x+C2sin2x - xsin2x。
公式：f''+4f = -4cos2x, 特解f*=x(Acos2x+Bsin2x)
提示：特解形式中乘以x是因为齐次解已包含cos2x和sin2x。
步骤 3/3
目标：利用初始条件确定常数
在原方程中令x=0得f(0)=1，代入通解得C1=1。对通解求导得f'(x)=-2C1sin2x+2C2cos2x - sin2x - 2xcos2x，由原方程求导结果令x=0得f'(0)=0，代入得C2=0。故f(x)=cos2x - xsin2x。
公式：f(0)=1, f'(0)=0
提示：初始条件从原方程及其导数在x=0处得到。
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