kaoyan3basic 高等数学 第224题
📝 题目
### 第224题 224 设微分方程 $\left(1+x^{2}\right) y^{\prime}-2 x y=x$ 满足 $y(0)=1$ 的特解是 $y^{*}(x)$ ，则 $\int_{0}^{1} y^{*}(x) \mathrm{d} x=$ （A）$\displaystyle \frac{3}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （C）$\displaystyle -\frac{1}{2}$ ． （D）$\displaystyle -\frac{3}{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：化为一阶线性微分方程$\displaystyle y' - \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{x}{1+x^2}$。步骤2：通解$\displaystyle y = (1+x^2)\left(\int \frac{x}{(1+x^2)^2}dx + C\right) = (1+x^2)\left(-\frac{1}{2(1+x^2)}+C\right) = -\frac{1}{2}+C(1+x^2)$。步骤3：由$y(0)=1$得$\displaystyle C=\frac{3}{2}$，故$\displaystyle y^*(x)=\frac{3}{2}(1+x^2)-\frac{1}{2}$。步骤4：$\displaystyle \int_0^1 y^*(x)dx = \int_0^1 \left(\frac{3}{2}x^2+1\right)dx = \frac{1}{2}+1 = \frac{3}{2}$？计算：$\displaystyle \frac{3}{2}\int_0^1(1+x^2)dx - \frac{1}{2}\int_0^1 dx = \frac{3}{2}(1+\frac{1}{3}) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3} - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$。但选项B为$\displaystyle \frac{1}{2}$，需检查：$\displaystyle y^*(x)=\frac{3}{2}(1+x^2)-\frac{1}{2} = \frac{3}{2}x^2+1$，积分得$\displaystyle \left[\frac{1}{2}x^3+x\right]_0^1 = \frac{1}{2}+1 = \frac{3}{2}$。答案应为$\displaystyle \frac{3}{2}$，对应A。 **答案更正**：A **难度**：★★★☆☆