kaoyan3basic 高等数学 第223题
📝 题目
### 第223题 223 设 $f(x)$ 具有一阶连续导数，$f(0)=0, \mathrm{~d} u(x, y)=f(x) y \mathrm{~d} x+[\sin x-f(x)] \mathrm{d} y$ ，则 $f(x)$ 等于 （A） $\cos x+\sin x-1$ ． （B）$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\cos x+\sin x-\mathrm{e}^{-x}\right)$ ． （C） $\cos x-\sin x+x \mathrm{e}^{x}$ ． （D） $\cos x-\sin x+x \mathrm{e}^{-x}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：由全微分条件，$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}[f(x)y] = \frac{\partial}{\partial x}[\sin x - f(x)]$，得$f(x) = \cos x - f'(x)$。步骤2：解微分方程$f'(x)+f(x)=\cos x$，通解$f(x)=e^{-x}(\int e^x\cos x dx + C)$。步骤3：计算积分得$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(\cos x+\sin x)+Ce^{-x}$，由$f(0)=0$得$\displaystyle C=-\frac{1}{2}$，故$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(\cos x+\sin x-e^{-x})$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用全微分条件建立微分方程
由全微分条件，∂P/∂y = ∂Q/∂x，其中P = f(x)y，Q = sin x - f(x)。计算得：∂P/∂y = f(x)，∂Q/∂x = cos x - f'(x)。因此有 f(x) = cos x - f'(x)，即 f'(x) + f(x) = cos x。
公式：∂P/∂y = ∂Q/∂x
提示：注意全微分的定义：du = P dx + Q dy，则必有 ∂P/∂y = ∂Q/∂x。
步骤 2/3
目标：解一阶线性微分方程
方程 f'(x) + f(x) = cos x 是一阶线性微分方程。通解公式：f(x) = e^{-∫dx} (∫ e^{∫dx} cos x dx + C) = e^{-x} (∫ e^x cos x dx + C)。计算积分 ∫ e^x cos x dx = (e^x (sin x + cos x))/2，所以 f(x) = e^{-x} [ (e^x (sin x + cos x))/2 + C ] = (sin x + cos x)/2 + C e^{-x}。
公式：一阶线性微分方程通解公式：y' + P(x)y = Q(x) => y = e^{-∫P dx} (∫ Q e^{∫P dx} dx + C)
提示：积分 ∫ e^x cos x dx 可用分部积分法或公式计算。
步骤 3/3
目标：利用初始条件确定常数
由 f(0)=0，代入得 0 = (sin 0 + cos 0)/2 + C e^0 = 1/2 + C，解得 C = -1/2。因此 f(x) = (sin x + cos x)/2 - (1/2) e^{-x} = (1/2)(cos x + sin x - e^{-x})。
提示：注意 e^0 = 1。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。