kaoyan3basic 高等数学 第241题
📝 题目
### 第241题 241 设函数 $f(x, y)$ 可微，且对任意 $x, y$ 都有 $\displaystyle \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}>0, \frac{\partial f(x, y)}{\partial y}<0$ ，则使不等式 $f\left(x_{1}, y_{1}\right)
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：由$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}>0$知$f$关于$x$单调递增，故$x_1
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析偏导数符号与单调性的关系
由 ∂f/∂x > 0 知 f 关于 x 单调递增，即 x 越大 f 越大；由 ∂f/∂y < 0 知 f 关于 y 单调递减，即 y 越大 f 越小。
公式：∂f/∂x > 0 ⇒ f(x1,y) < f(x2,y) 当 x1 < x2；∂f/∂y < 0 ⇒ f(x,y1) < f(x,y2) 当 y1 > y2
提示：注意偏导数的正负决定单调性方向。
步骤 2/3
目标：结合单调性推导不等式条件
要使得 f(x1,y1) < f(x2,y2)，可先固定 y 比较 x：取 x1 < x2 则 f(x1,y1) < f(x2,y1)；再固定 x 比较 y：取 y1 > y2 则 f(x2,y1) < f(x2,y2)。因此 x1 < x2 且 y1 > y2 时不等式成立。
公式：f(x1,y1) < f(x2,y1) < f(x2,y2) 当 x1 < x2 且 y1 > y2
提示：利用中间变量 f(x2,y1) 进行传递。
步骤 3/3
目标：选择正确选项
选项 D 满足 x1 < x2, y1 > y2，是充分条件。其他选项均不能保证不等式成立。
提示：验证其他选项的反例：如 A 中 x1 > x2 导致 f(x1,y1) > f(x2,y1)，与 y 方向效果可能抵消。
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