kaoyan3basic 高等数学 第242题
📝 题目
### 第242题 242 设可微函数 $f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}>1, \frac{\partial f}{\partial y}<-1, f(0,0)=0$ ，则下列结论正确的是 （A）$f(1,1)>1$ ． （B）$f(-1,1)>-2$ ． （C）$f(-1,-1)<0$ ． （D）$f(1,-1)>2$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：由$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}>1$，对$x$积分得$f(1,y)-f(0,y)>1$，即$f(1,y)>f(0,y)+1$。步骤2：由$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}<-1$，对$y$积分得$f(0,1)-f(0,0)<-1$，即$f(0,1)<-1$；$f(0,-1)-f(0,0)>1$，即$f(0,-1)>1$。步骤3：计算$f(1,-1)>f(0,-1)+1>2$，D正确。其他选项可举反例排除。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用偏导数条件推导函数值关系
由 ∂f/∂x > 1，对 x 从 0 到 1 积分得 f(1,y) - f(0,y) > 1，即 f(1,y) > f(0,y) + 1。
公式：f(1,y) > f(0,y) + 1
提示：对偏导数积分时，注意积分方向与不等式方向一致。
步骤 2/3
目标：利用偏导数条件推导 f(0,1) 和 f(0,-1) 的范围
由 ∂f/∂y < -1，对 y 从 0 到 1 积分得 f(0,1) - f(0,0) < -1，即 f(0,1) < -1；对 y 从 0 到 -1 积分得 f(0,-1) - f(0,0) > 1，即 f(0,-1) > 1。
公式：f(0,1) < -1, f(0,-1) > 1
提示：注意积分上下限，当积分下限大于上限时，不等式方向会反转。
步骤 3/3
目标：计算 f(1,-1) 并判断选项 D
由第一步，取 y = -1 得 f(1,-1) > f(0,-1) + 1。再由第二步 f(0,-1) > 1，得 f(1,-1) > 2。因此选项 D 正确。
公式：f(1,-1) > f(0,-1) + 1 > 2
提示：结合两个不等式得到最终结果。
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