kaoyan3basic 高等数学 第243题
📝 题目
### 第243题 243 已知 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则 （A）$f_{x y}^{\prime \prime}(0,0)=1$ ． （B）$f_{x y}^{\prime \prime}(0,0)=0$ ． （C）$f_{y x}^{\prime \prime}(0,0)=1$ ． （D）$f_{y x}^{\prime \prime}(0,0)=-1$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：由偏导定义，$\displaystyle f_x(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=0$，$\displaystyle f_y(0,0)=\lim_{y\to0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y}=0$。步骤2：当$(x,y)\neq(0,0)$时，$\displaystyle f_x(x,y)=y\frac{x^4+4x^2y^2-y^4}{(x^2+y^2)^2}$，$\displaystyle f_y(x,y)=x\frac{x^4-4x^2y^2-y^4}{(x^2+y^2)^2}$。步骤3：$\displaystyle f_{xy}''(0,0)=\lim_{y\to0}\frac{f_x(0,y)-f_x(0,0)}{y}=\lim_{y\to0}\frac{-y}{y}=-1$，$\displaystyle f_{yx}''(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f_y(x,0)-f_y(0,0)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{x}{x}=1$，故$f_{yx}''(0,0)=1$，D正确。 **难度**：★★★☆☆