kaoyan3basic 高等数学 第101题
📝 题目
### 第101题 101 若函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\mathrm{e}^{x+2 y+3 z}+x y z=1$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a=2$，$b=2$，$\displaystyle f(x,y)=\frac{2}{3}x^3y^2-x^2y^2+y+C$ **解析**： 由全微分条件$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$，其中$P=ax^2y^2-2xy^2$，$Q=2x^3y+bx^2y+1$。 $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=2ax^2y-4xy$，$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=6x^2y+2bxy$。 比较得$2a=6$，$-4=2b$，故$a=3$，$b=-2$。 积分得$\displaystyle f(x,y)=\int Pdx=\frac{a}{3}x^3y^2-x^2y^2+\varphi(y)=\frac{3}{3}x^3y^2-x^2y^2+\varphi(y)=x^3y^2-x^2y^2+\varphi(y)$。 对$y$求偏导得$2x^3y-2x^2y+\varphi'(y)=2x^3y-2x^2y+1$，故$\varphi'(y)=1$，$\varphi(y)=y+C$。 所以$f(x,y)=x^3y^2-x^2y^2+y+C$。
**难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定隐函数求导方法
方程 e^{x+2y+3z} + xyz = 1 确定隐函数 z=z(x,y)，求全微分 dz 在 (0,0) 处的值。使用隐函数求导法，对等式两边求全微分。
公式：d(e^{x+2y+3z}) + d(xyz) = 0
提示：注意全微分法则：d(e^u)=e^u du，d(xyz)=yz dx + xz dy + xy dz。
步骤 2/5
目标：计算全微分表达式
对等式两边求全微分：e^{x+2y+3z} d(x+2y+3z) + yz dx + xz dy + xy dz = 0。即 e^{x+2y+3z}(dx+2dy+3dz) + yz dx + xz dy + xy dz = 0。
公式：e^{x+2y+3z}(dx+2dy+3dz) + yz dx + xz dy + xy dz = 0
提示：将含有 dz 的项移到一边，其他项移到另一边。
步骤 3/5
目标：整理并解出 dz
合并 dx, dy, dz 的系数：dx: e^{x+2y+3z} + yz；dy: 2e^{x+2y+3z} + xz；dz: 3e^{x+2y+3z} + xy。所以 (3e^{x+2y+3z}+xy) dz = -(e^{x+2y+3z}+yz) dx - (2e^{x+2y+3z}+xz) dy。因此 dz = -[(e^{x+2y+3z}+yz) dx + (2e^{x+2y+3z}+xz) dy] / (3e^{x+2y+3z}+xy)。
公式：dz = -\frac{(e^{x+2y+3z}+yz) dx + (2e^{x+2y+3z}+xz) dy}{3e^{x+2y+3z}+xy}
提示：分母不能为零，注意 (0,0) 处 z 的值。
步骤 4/5
目标：求 (0,0) 处 z 的值
将 (x,y)=(0,0) 代入原方程：e^{0+0+3z} + 0 = 1，即 e^{3z}=1，得 z=0。
公式：e^{3z}=1 ⇒ z=0
提示：代入时注意 xyz=0。
步骤 5/5
目标：代入 (0,0,0) 计算 dz
将 x=0, y=0, z=0 代入 dz 表达式：e^{0}=1，yz=0，xz=0，xy=0。分子：-(1+0)dx - (2+0)dy = -dx - 2dy；分母：3*1+0=3。所以 dz = -\frac{1}{3} dx - \frac{2}{3} dy。
公式：dz|_{(0,0)} = -\frac{1}{3}dx - \frac{2}{3}dy
提示：最终结果写成微分形式。
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