kaoyan3basic 高等数学 第100题
📝 题目
### 第100题 100 设 $u=f(x, y, z)=\mathrm{e}^{x}+y^{2} z$ ，其中 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x+y+z+x y z=0$ 所确定的隐函数，则 $u_{x}^{\prime}(0,1,-1)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$b\mathrm{d}x+c\mathrm{d}y$ **解析**： 由极限式，当$(x,y)\to(0,0)$时，$\ln(1+x^2+y^2)\sim x^2+y^2$，故$f(x,y)-a-bx-cy\sim x^2+y^2$，因此$f(0,0)=a$，且$f_x(0,0)=b$，$f_y(0,0)=c$，故$\mathrm{d}f(0,0)=b\mathrm{d}x+c\mathrm{d}y$。
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求u对x的偏导数表达式
u = e^x + y^2 z，其中z=z(x,y)由方程x+y+z+xyz=0确定。对u求关于x的偏导：u_x = e^x + y^2 z_x。
公式：u_x = e^x + y^2 z_x
提示：注意z是x,y的函数，求偏导时需考虑链式法则。
步骤 2/4
目标：求隐函数z对x的偏导数z_x
对方程x+y+z+xyz=0两边对x求偏导（y视为常数）：1 + z_x + y(z + x z_x) = 0，即1 + z_x + yz + xy z_x = 0，整理得(1+xy)z_x = -1 - yz，所以z_x = -(1+yz)/(1+xy)。
公式：z_x = -(1+yz)/(1+xy)
提示：求导时注意z是x的函数，乘积项xyz的导数为y(z + x z_x)。
步骤 3/4
目标：代入点(0,1,-1)计算z_x
代入x=0, y=1, z=-1：z_x = -(1+1*(-1))/(1+0*1) = -(1-1)/1 = 0。
提示：注意代入顺序，先计算分子分母。
步骤 4/4
目标：计算u_x在(0,1,-1)处的值
u_x = e^x + y^2 z_x，代入x=0, y=1, z_x=0得：u_x = e^0 + 1^2 * 0 = 1 + 0 = 1。
提示：e^0=1。
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