kaoyan3basic 高等数学 第99题
📝 题目
### 第99题 99 设 $\left(a x^{2} y^{2}-2 x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x^{3} y+b x^{2} y+1\right) \mathrm{d} y$ 是一个函数 $f(x, y)$ 的全微分，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ，$f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$2\mathrm{d}x-\mathrm{d}y$ **解析**： 由极限条件知$f(0,1)=2\cdot0-1+2=1$，且$f(x,y)$在$(0,1)$处可微，线性部分为$2x-y+2$，故$\mathrm{d}z|_{(0,1)}=2\mathrm{d}x-\mathrm{d}y$。
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用全微分条件建立方程
设 P(x,y) = a x^2 y^2 - 2 x y^2, Q(x,y) = 2 x^3 y + b x^2 y + 1。由于存在函数 f(x,y) 使得 df = P dx + Q dy，则 ∂P/∂y = ∂Q/∂x。
公式：∂P/∂y = ∂Q/∂x
提示：全微分条件：P_y = Q_x
步骤 2/4
目标：计算偏导数并令相等
计算 ∂P/∂y = 2a x^2 y - 4 x y，∂Q/∂x = 6 x^2 y + 2b x y。令两者相等：2a x^2 y - 4 x y = 6 x^2 y + 2b x y。
公式：2a x^2 y - 4 x y = 6 x^2 y + 2b x y
提示：比较 x^2 y 和 x y 项的系数
步骤 3/4
目标：比较系数求解 a 和 b
比较 x^2 y 项系数：2a = 6 ⇒ a = 3。比较 x y 项系数：-4 = 2b ⇒ b = -2。
公式：a=3, b=-2
提示：注意系数对应
步骤 4/4
目标：求原函数 f(x,y)
由 df = P dx + Q dy，对 P 积分：∫(3x^2 y^2 - 2x y^2) dx = x^3 y^2 - x^2 y^2 + g(y)。再对 y 求导得 ∂f/∂y = 2x^3 y - 2x^2 y + g'(y)，与 Q=2x^3 y -2x^2 y +1 比较得 g'(y)=1，积分得 g(y)=y+C。取 C=0，得 f(x,y)=x^3 y^2 - x^2 y^2 + y。
公式：f(x,y)=x^3 y^2 - x^2 y^2 + y
提示：积分时注意常数项为 y 的函数
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