kaoyan3basic 高等数学 第98题
📝 题目
### 第98题 98 设 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-a-b x-c y}{\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)}=1$ ，其中 $a, b, c$ 为常数，则 $\left.\mathrm{d} f(x, y)\right|_{(0,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}x^2y+\frac{1}{2}xy^2+x+y^2$ **解析**： 由$\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=x+y$，积分得$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=xy+\frac{1}{2}y^2+\varphi(y)$？ 正确做法：先对$y$积分：$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=xy+\frac{1}{2}y^2+\phi(x)$？ 更规范： 由$\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=x+y$，对$y$积分得$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=xy+\frac{1}{2}y^2+\varphi(x)$。 再对$x$积分得$\displaystyle z=\frac{1}{2}x^2y+\frac{1}{2}xy^2+\int\varphi(x)dx+\psi(y)$。 由$f(x,0)=x$得$\int\varphi(x)dx+\psi(0)=x$，故$\int\varphi(x)dx=x$，$\psi(0)=0$。 由$f(0,y)=y^2$得$0+0+\int\varphi(0)dx+\psi(y)=y^2$，即$\psi(y)=y^2$（注意$\int\varphi(0)dx$为常数，可并入$\psi$）。 故$\displaystyle z=\frac{1}{2}x^2y+\frac{1}{2}xy^2+x+y^2$。
**难度**：★★★☆☆