kaoyan3basic 高等数学 第97题
📝 题目
### 第97题 97 设连续函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \rightarrow 1}} \frac{f(x, y)-2 x+y-2}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}=0$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}\sin 2x$ **解析**： 由$u(x,0)=f(2x)+g(2x)=\sin 2x$， $u_y'(x,0)=5f'(2x)-5g'(2x)=0$，得$f'(2x)=g'(2x)$。 积分得$f(2x)=g(2x)+C$。代入第一式得$2f(2x)=\sin 2x+C$，故$\displaystyle f(2x)=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{C}{2}$。 令$t=2x$，得$\displaystyle f(t)=\frac{1}{2}\sin t+\frac{C}{2}$。由可微性，常数$C$可任意，通常取$C=0$，则$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}\sin x$。
**难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解极限条件与全微分的关系
已知极限为0，说明函数f(x,y)在点(0,1)处可微，且该极限表达式中的分子是f(x,y)减去线性函数2x - y + 2，分母是距离√(x^2+(y-1)^2)。根据全微分定义，f(x,y)在(0,1)处的线性近似为f(0,1) + f_x(0,1)x + f_y(0,1)(y-1)，而极限条件表明f(x,y) - (2x - y + 2)是比距离高阶的无穷小，因此线性部分必须相等。
公式：lim_{(x,y)→(0,1)} [f(x,y) - (2x - y + 2)] / √(x^2+(y-1)^2) = 0
提示：注意分母是√(x^2+(y-1)^2)，表示点(x,y)到(0,1)的距离。
步骤 2/4
目标：确定f(0,1)的值
由极限为0，当(x,y)→(0,1)时，分子也必须趋于0，否则极限不存在或不为0。因此f(0,1) - (2*0 - 1 + 2) = f(0,1) - 1 = 0，所以f(0,1)=1。
公式：f(0,1) = 1
提示：利用连续性和极限为0，分子趋于0。
步骤 3/4
目标：确定偏导数f_x(0,1)和f_y(0,1)
根据全微分定义，f(x,y)在(0,1)附近可表示为f(0,1) + f_x(0,1)x + f_y(0,1)(y-1) + o(√(x^2+(y-1)^2))。与极限条件对比，线性部分必须等于2x - y + 2，因此f_x(0,1)=2，f_y(0,1)=-1。注意常数项：f(0,1)=1，而2x - y + 2在(0,1)处值为1，一致。
公式：f_x(0,1)=2, f_y(0,1)=-1
提示：线性部分系数对应偏导数值。
步骤 4/4
目标：写出全微分表达式
全微分dz = f_x(0,1) dx + f_y(0,1) dy = 2 dx - dy。
公式：dz|_{(0,1)} = 2dx - dy
提示：注意dy对应y-1的微分，但通常写作dy。
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