kaoyan3basic 高等数学 第68题
📝 题目
### 第68题 $\displaystyle 68 I=\int_{1}^{+\infty}\left[\frac{2 x^{2}+b x+a}{x(2 x+a)}-1\right] \mathrm{d} x=1$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a=1$，$b=2$ **解析**： 步骤1：被积函数化简：$\displaystyle \frac{2x^2+bx+a}{x(2x+a)} - 1 = \frac{2x^2+bx+a - x(2x+a)}{x(2x+a)} = \frac{2x^2+bx+a - 2x^2 - ax}{x(2x+a)} = \frac{(b-a)x + a}{x(2x+a)}$。 步骤2：$\displaystyle I = \int_{1}^{+\infty} \frac{(b-a)x + a}{x(2x+a)} \mathrm{d}x$，为使积分收敛，需分子次数低于分母，即$(b-a)x + a$与$x$同阶时发散，故需$b-a=0$，即$b=a$，此时$\displaystyle I = \int_{1}^{+\infty} \frac{a}{x(2x+a)} \mathrm{d}x$。 步骤3：$\displaystyle I = a \int_{1}^{+\infty} \left(\frac{1}{ax} - \frac{2}{a(2x+a)}\right) \mathrm{d}x = \int_{1}^{+\infty} \left(\frac{1}{x} - \frac{2}{2x+a}\right) \mathrm{d}x = \ln\frac{x}{2x+a}\Big|_{1}^{+\infty} = \ln\frac{1}{2} - \ln\frac{1}{2+a} = \ln\frac{2+a}{2} = 1$，故$\displaystyle \frac{2+a}{2}=e$，$a=2e-2$。 **答案更正**：步骤2中，若$b=a$，则$\displaystyle I = \int_{1}^{+\infty} \frac{a}{x(2x+a)} \mathrm{d}x = \int_{1}^{+\infty} \left(\frac{1}{x} - \frac{2}{2x+a}\right) \mathrm{d}x = \left[\ln x - \ln(2x+a)\right]_{1}^{+\infty} = \ln\frac{x}{2x+a}\Big|_{1}^{+\infty} = \ln\frac{1}{2} - \ln\frac{1}{2+a} = \ln\frac{2+a}{2}$，令其等于1得$\displaystyle \frac{2+a}{2}=e$，$a=2e-2$，但题目要求$a,b$为常数，且积分值为1，需重新审视。 **正确解法**：被积函数$\displaystyle \frac{2x^2+bx+a}{x(2x+a)} - 1 = \frac{(b-a)x + a}{x(2x+a)}$，积分收敛需分子次数小于分母，即$b-a=0$，否则发散。故$b=a$，积分$\displaystyle I = \int_{1}^{+\infty} \frac{a}{x(2x+a)} \mathrm{d}x = \frac{a}{a} \int_{1}^{+\infty} \left(\frac{1}{x} - \frac{2}{2x+a}\right) \mathrm{d}x = \ln\frac{x}{2x+a}\Big|_{1}^{+\infty} = \ln\frac{1}{2} - \ln\frac{1}{2+a} = \ln\frac{2+a}{2} = 1$，得$a=2e-2$，$b=2e-2$。 **最终答案**：$a=2e-2$，$b=2e-2$ **难度**：★★★☆☆