kaoyan3basic 高等数学 第69题
📝 题目
### 第69题 $\displaystyle 69 \int_{0}^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\ln 2$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x e^{-x}}{(1+e^{-x})^2} \mathrm{d}x = \int_{0}^{+\infty} \frac{x e^{x}}{(e^{x}+1)^2} \mathrm{d}x$。 步骤2：令$t = e^{x}$，则$x = \ln t$，$\displaystyle \mathrm{d}x = \frac{1}{t}\mathrm{d}t$，积分限$t$从$1$到$+\infty$，原式$\displaystyle = \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln t \cdot t}{(t+1)^2} \cdot \frac{1}{t} \mathrm{d}t = \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln t}{(t+1)^2} \mathrm{d}t$。 步骤3：分部积分，令$u = \ln t$，$\displaystyle \mathrm{d}v = \frac{1}{(t+1)^2}\mathrm{d}t$，则$\displaystyle \mathrm{d}u = \frac{1}{t}\mathrm{d}t$，$\displaystyle v = -\frac{1}{t+1}$，原式$\displaystyle = -\frac{\ln t}{t+1}\Big|_{1}^{+\infty} + \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{t(t+1)} \mathrm{d}t = 0 + \int_{1}^{+\infty} \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}\right) \mathrm{d}t = \ln\frac{t}{t+1}\Big|_{1}^{+\infty} = \ln 1 - \ln\frac{1}{2} = \ln 2$。 **难度**：★★★☆☆