kaoyan3basic 高等数学 第70题
📝 题目
### 第70题 70 椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 绕 $x$ 轴旋转一周的体积为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{4}{3}\pi a b^2$ **解析**： 步骤1：椭圆绕$x$轴旋转，体积公式$V = \pi \int_{-a}^{a} y^2 \mathrm{d}x$，由椭圆方程$\displaystyle y^2 = b^2\left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right)$。 步骤2：$\displaystyle V = \pi \int_{-a}^{a} b^2\left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right) \mathrm{d}x = \pi b^2 \left[ x - \frac{x^3}{3a^2} \right]_{-a}^{a} = \pi b^2 \left( 2a - \frac{2a}{3} \right) = \frac{4}{3}\pi a b^2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定旋转体体积公式
椭圆绕x轴旋转，体积公式为 V = π ∫_{-a}^{a} y^2 dx。
公式：V = π ∫_{α}^{β} y^2 dx
提示：注意积分区间为椭圆在x轴上的范围[-a, a]。
步骤 2/4
目标：从椭圆方程解出y^2
由椭圆方程 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，解得 y^2 = b^2(1 - x^2/a^2)。
公式：y^2 = b^2(1 - x^2/a^2)
提示：将y^2表示为x的函数。
步骤 3/4
目标：代入体积公式并积分
V = π ∫_{-a}^{a} b^2(1 - x^2/a^2) dx = π b^2 ∫_{-a}^{a} (1 - x^2/a^2) dx。计算积分：∫_{-a}^{a} 1 dx = 2a，∫_{-a}^{a} x^2 dx = 2a^3/3，所以 ∫_{-a}^{a} (1 - x^2/a^2) dx = 2a - (2a^3)/(3a^2) = 2a - 2a/3 = 4a/3。
公式：∫_{-a}^{a} (1 - x^2/a^2) dx = 4a/3
提示：利用奇偶性简化积分：x^2是偶函数，积分区间对称。
步骤 4/4
目标：得出最终体积
V = π b^2 * (4a/3) = (4/3)π a b^2。
公式：V = (4/3)π a b^2
提示：结果与椭球体积公式一致。
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