kaoyan3basic 高等数学 第71题
📝 题目
### 第71题 71 若不定积分 $\displaystyle \int \frac{x^{2}+a x+2}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)} \mathrm{d} x$ 的结果中不含反正切函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ． 组鿏笔记
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：将被积函数分解为部分分式：$\displaystyle \frac{x^2+ax+2}{(x+1)(x^2+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$。 步骤2：通分得$x^2+ax+2 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+1) = (A+B)x^2 + (B+C)x + (A+C)$，比较系数得$A+B=1$，$B+C=a$，$A+C=2$。 步骤3：积分结果不含反正切函数，即$\displaystyle \frac{Bx+C}{x^2+1}$的积分不含$\arctan x$，需$B=0$，则$A=1$，$C=1$，代入$B+C=a$得$a=1$。 **答案更正**：若$B=0$，则$A=1$，$C=1$，$a=1$，但验证：$\displaystyle \int \frac{1}{x+1} \mathrm{d}x + \int \frac{1}{x^2+1} \mathrm{d}x = \ln|x+1| + \arctan x$，含反正切，故需$C=0$，则$A=2$，$B=-1$，$a=B+C=-1$。 **正确解法**：不含反正切，即$\displaystyle \frac{Bx+C}{x^2+1}$的积分应为对数形式，需$C=0$，则$A=2$，$B=-1$，$a=B+C=-1$。 **最终答案**：$-1$ **难度**：★★★☆☆