kaoyan3basic 高等数学 第72题
📝 题目
### 第72题 72 不定积分 $\displaystyle I=\int \frac{x+2}{2 x^{2}+x+1} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{4}\ln(2x^2+x+1) + \frac{3\sqrt{7}}{7}\arctan\frac{4x+1}{\sqrt{7}} + C$ **解析**： 步骤1：分母$2x^2+x+1$的判别式$\Delta = 1-8=-7<0$，故配方：$\displaystyle 2x^2+x+1 = 2\left(x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right) = 2\left[\left(x+\frac{1}{4}\right)^2 + \frac{7}{16}\right]$。 步骤2：分子$x+2$，拆分为$\displaystyle \frac{1}{4}(4x+1) + \frac{7}{4}$，则$\displaystyle I = \int \frac{\frac{1}{4}(4x+1) + \frac{7}{4}}{2x^2+x+1} \mathrm{d}x = \frac{1}{4}\int \frac{4x+1}{2x^2+x+1} \mathrm{d}x + \frac{7}{4}\int \frac{1}{2x^2+x+1} \mathrm{d}x$。 步骤3：第一积分$\displaystyle \frac{1}{4}\ln(2x^2+x+1)$，第二积分$\displaystyle \frac{7}{4}\int \frac{1}{2\left[(x+\frac{1}{4})^2 + \frac{7}{16}\right]} \mathrm{d}x = \frac{7}{8}\int \frac{1}{(x+\frac{1}{4})^2 + \frac{7}{16}} \mathrm{d}x = \frac{7}{8} \cdot \frac{4}{\sqrt{7}} \arctan\frac{4x+1}{\sqrt{7}} = \frac{7}{2\sqrt{7}}\arctan\frac{4x+1}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{2}\arctan\frac{4x+1}{\sqrt{7}}$。 **最终答案**：$\displaystyle \frac{1}{4}\ln(2x^2+x+1) + \frac{\sqrt{7}}{2}\arctan\frac{4x+1}{\sqrt{7}} + C$ **难度**：★★★☆☆