kaoyan3basic 高等数学 第656题

**答案**：C **解析**：步骤1：幂级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{(x-a)^n}{n}$的收敛半径为$1$，收敛区间为$(a-1, a+1)$。 步骤2：在$x=0$处收敛，故$0\in[a-1, a+1)$或$(a-1, a+1]$，即$|a|<1$或$a=\pm1$时需判断端点。 步骤3：在$x>0$处发散，即存在$x>0$使得级数发散，说明$a+1>0$且$x=a+1$处发散（因为$x>0$且发散，可能为右端点）。由$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n}$条件收敛，故右端点$x=a+1$处级数为$\displaystyle \sum(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$收敛，矛盾；左端点$x=a-1$处级数为$\displaystyle \sum(-1)^{n-1}\frac{(-1)^n}{n} = -\sum\frac{1}{n}$发散。故发散点在左端点，即$x=a-1$，且$a-1>0$，得$a>1$。结合$x=0$收敛得$a-1<01$矛盾。重新分析：在$x>0$处发散，说明区间$(a-1,a+1)$与$(0,+\infty)$的交集中有发散点，可能为端点。若$a+1>0$且$a-1<0$，则区间包含$x=0$，且右端点$x=a+1$处级数收敛（条件收敛），左端点$x=a-1$处发散，但左端点小于0，故$x>0$内无发散点，矛盾。故$a+1$应为发散点，但右端点级数收敛，故只能$a+1$不在收敛域内，即$a+1$为发散点，但右端点级数收敛，故$a+1$不能是端点，即收敛域为$(a-1, a+1]$或$[a-1, a+1)$，且$a+1$为收敛点，则$a+1$处收敛，故$x>0$内发散点只能是区间内某点，但幂级数在收敛区间内内闭一致收敛，故发散点只能是端点。因此，$a+1$应为发散点，但由$\displaystyle \sum(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$收敛，故$a+1$处级数为$\displaystyle \sum(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$收敛，矛盾。故需重新审视：原级数在$x=0$收敛，即$\displaystyle \sum(-1)^{n-1}\frac{(-a)^n}{n}$收敛，故$|-a|\le1$且端点处需判断。若$a=1$，则$x=0$处级数为$\displaystyle \sum(-1)^{n-1}\frac{(-1)^n}{n}=-\sum\frac{1}{n}$发散，故$a\neq1$。若$a=-1$，则$x=0$处级数为$\displaystyle \sum(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$收敛。此时收敛区间为$(-2,0)$，在$x>0$处发散（因为整个区间在负半轴），满足条件。故$a=-1$。但选项中有-1，选B。 **难度**：★★★☆☆