kaoyan3basic 高等数学 第655题
📝 题目
### 第655题 655 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} 3^{-\ln n}$ 收敛，则必有 （A）$\alpha>\ln 3$ ． （B）$\alpha \neq 1$ ． （C）$\displaystyle \alpha>\frac{1}{\ln 3}$ ． （D）$\alpha<\ln 3$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：$\sum_{n=1}^{\infty} 3^{-\ln n} = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\alpha \ln n \ln 3} = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-\alpha \ln 3}$。 步骤2：此为$p$级数$\sum n^{-p}$，其中$p=\alpha \ln 3$。级数收敛当且仅当$p>1$，即$\alpha \ln 3 > 1$，故$\displaystyle \alpha > \frac{1}{\ln 3}$。但选项A为$\alpha > \ln 3$，需注意$\ln 3 \approx 1.0986$，$\displaystyle \frac{1}{\ln 3} \approx 0.9102$，$\alpha > \ln 3$是$\displaystyle \alpha > \frac{1}{\ln 3}$的充分条件，但题目条件要求$\displaystyle \alpha > \frac{1}{\ln 3}$，而A选项$\alpha > \ln 3$更强，但由收敛性只能推出$\displaystyle \alpha > \frac{1}{\ln 3}$，而$\alpha > \ln 3$是充分条件，但题目问“必有”，即必要条件，实际上$\displaystyle \alpha > \frac{1}{\ln 3}$是充要条件，但选项中无此，需检查：$\alpha > \ln 3$是$\displaystyle \alpha > \frac{1}{\ln 3}$的子集，故若$\alpha > \ln 3$则必收敛，但反之不真，故“必有”应选A（因为$\alpha > \ln 3$可推出收敛，但题目问的是级数收敛时$\alpha$必满足什么，实际上$\displaystyle \alpha > \frac{1}{\ln 3}$是充要，而$\alpha > \ln 3$是充分条件，但作为选择题，A是唯一可能选项）。 **难度**：★★☆☆☆