kaoyan3basic 高等数学 第654题
📝 题目
### 第654题 654 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1-\cos x}{x^{2}}, & x \neq 0 \\ \frac{1}{2}, & x=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处六阶导数 $f^{(6)}(0)$ （A）不存在． （B）等于 $\displaystyle -\frac{1}{6}$ ． （C）等于 $\displaystyle \frac{1}{56}$ ． （D）等于 $\displaystyle -\frac{1}{56}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$\displaystyle f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}$（$x\neq0$），利用$\cos x$的麦克劳林展开：$\displaystyle \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$。 步骤2：则$\displaystyle 1-\cos x = \frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} - \cdots$，于是$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2!} - \frac{x^2}{4!} + \frac{x^4}{6!} - \cdots$。 步骤3：$f(x)$的六阶导数对应$x^6$项的系数乘以$6!$，$x^6$项系数为$\displaystyle -\frac{1}{8!}$，故$\displaystyle f^{(6)}(0) = -\frac{6!}{8!} = -\frac{1}{56}$。 **难度**：★★★☆☆