kaoyan3basic 高等数学 第653题
📝 题目
### 第653题 653 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n(n+1)}$ 的和函数 $S(x)=$ （A） $\displaystyle \ln (1-x)+\frac{1}{x} \ln (1-x)+1 \quad(-1 \leqslant x<1, x \neq 0)$ ． （B） $\displaystyle \ln (1+x)+\frac{1}{x} \ln (1-x)+1 \quad(-1
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：设$\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n(n+1)}$，则$\displaystyle xS(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$。求导得$\displaystyle (xS(x))' = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x)$，$|x|<1$。 步骤2：积分得$xS(x) = -\int \ln(1-x) dx = (1-x)\ln(1-x) + x + C$。由$x=0$时$S(0)=0$得$C=0$。 步骤3：故$\displaystyle S(x) = \frac{(1-x)\ln(1-x) + x}{x} = -\ln(1-x) + \frac{1}{x}\ln(1-x) + 1$，收敛域为$[-1,1)$且$x\neq0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：设和函数并求导
设 S(x) = ∑_{n=1}^∞ x^n / [n(n+1)]，则 xS(x) = ∑_{n=1}^∞ x^{n+1} / [n(n+1)]。对 xS(x) 求导得 (xS(x))' = ∑_{n=1}^∞ x^n / n = -ln(1-x)，|x|<1。
公式：(xS(x))' = -ln(1-x)
提示：注意求导后级数变为 ∑ x^n/n，其和为 -ln(1-x)。
步骤 2/3
目标：积分求 xS(x)
积分得 xS(x) = -∫ ln(1-x) dx = (1-x)ln(1-x) + x + C。由 x=0 时 S(0)=0 得 C=0。
公式：∫ ln(1-x) dx = -(1-x)ln(1-x) - x + C
提示：积分时注意常数项，利用初始条件确定 C。
步骤 3/3
目标：得到 S(x) 表达式
故 S(x) = [(1-x)ln(1-x) + x] / x = -ln(1-x) + (1/x)ln(1-x) + 1，收敛域为 [-1,1) 且 x≠0。
公式：S(x) = -ln(1-x) + (1/x)ln(1-x) + 1
提示：化简时注意 x≠0，收敛域需单独考虑端点。
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