kaoyan3basic 高等数学 第652题
📝 题目
### 第652题 652 级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{3^{n}}$ 的和 $S=$ （A）$\displaystyle \frac{3}{32}$ ． （B）$\displaystyle \frac{3}{16}$ ． （C）$\displaystyle \frac{3}{8}$ ． （D）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：考虑幂级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n y^{n-1} = \frac{1}{(1+y)^2}$，其中$|y|<1$。 步骤2：令$\displaystyle y=\frac{1}{3}$，则$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \frac{1}{(1+\frac{1}{3})^2} = \frac{9}{16}$。 步骤3：所求级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{3^n} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{16} = \frac{3}{16}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将所求级数与已知幂级数求和公式联系起来
考虑幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n y^{n-1} = \frac{1}{(1+y)^2}$，其中 $|y|<1$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n y^{n-1} = \frac{1}{(1+y)^2}$
提示：该公式可由 $\frac{1}{1+y} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n y^n$ 逐项求导得到。
步骤 2/3
目标：代入 $y=1/3$ 计算幂级数的值
令 $y=\frac{1}{3}$，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \frac{1}{(1+\frac{1}{3})^2} = \frac{9}{16}$。
公式：$\frac{1}{(1+\frac{1}{3})^2} = \frac{9}{16}$
提示：注意 $y=1/3$ 满足 $|y|<1$，公式适用。
步骤 3/3
目标：通过调整系数得到所求级数的和
所求级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{3^n} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{16} = \frac{3}{16}$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{3^n} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{16}$
提示：将 $n/3^n$ 写成 $n \cdot (1/3)^{n-1} \cdot (1/3)$ 的形式。
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