kaoyan3basic 高等数学 第651题
📝 题目
### 第651题 651 若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛域是 $(-8,8]$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n} x^{n}}{n(n-1)}$ 的收敛半径及 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{3 n}$ 的收敛域分别是 （A） $8,(-2,2]$ ． （B） $8,[-2,2]$ ． （C） $4,(-2,2]$ ． （D） $8,[-2,2)$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：由$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$的收敛域为$(-8,8]$，得收敛半径$R=8$，且$x=8$时收敛，$x=-8$时发散。对于$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_n x^n}{n(n-1)}$，其收敛半径不变，仍为$8$。 步骤2：对于$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{3n}$，令$t=x^3$，则收敛域由$t\in(-8,8]$决定，即$x^3\in(-8,8]$，解得$x\in(-2,2]$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定原级数的收敛半径和端点收敛性
已知∑_{n=0}^∞ a_n x^n的收敛域为(-8,8]，因此收敛半径R=8，且在x=8处收敛，在x=-8处发散。
提示：收敛域包括端点时，需注意端点的收敛性。
步骤 2/3
目标：求第一个级数的收敛半径
级数∑_{n=2}^∞ (a_n x^n)/(n(n-1))的收敛半径与原级数相同，仍为8。因为乘以1/(n(n-1))不改变收敛半径。
提示：乘以关于n的有界非零因子不改变收敛半径。
步骤 3/3
目标：求第二个级数的收敛域
对于∑_{n=0}^∞ a_n x^{3n}，令t=x^3，则级数化为∑_{n=0}^∞ a_n t^n，其收敛域为t∈(-8,8]。由x^3=t得x^3∈(-8,8]，解得x∈(-2,2]。注意端点：x=2时t=8，原级数收敛；x=-2时t=-8，原级数发散，所以收敛域为(-2,2]。
公式：t=x^3
提示：注意幂级数变换后端点对应关系。
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