kaoyan3basic 高等数学 第650题
📝 题目
### 第650题 650 设 $f(x)$ 有连续的一阶导数且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=a>0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ （A）发散． （B）绝对收敛． （C）条件收敛． （D）敛散性与 $a$ 有关．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：由$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=a>0$，且$f$有连续一阶导数，则$f(0)=0$，$f'(0)=a$。故$\displaystyle f(\frac{1}{n})\sim\frac{a}{n}$（$n\to\infty$）。则$\displaystyle \sum(-1)^n f(\frac{1}{n})$的通项绝对值$\displaystyle \sim\frac{a}{n}$，故$\displaystyle \sum|f(\frac{1}{n})|$发散（与调和级数比较）。而交错级数$\displaystyle \sum(-1)^n f(\frac{1}{n})$，由于$\displaystyle f(\frac{1}{n})$单调递减（当$n$充分大时，因$f'(0)>0$，$f$在0附近单调增，故$\displaystyle f(\frac{1}{n})$递减），且$\displaystyle f(\frac{1}{n})\to0$，由莱布尼茨判别法知原级数收敛。故条件收敛。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用极限条件推导f(0)和f'(0)
由lim_{x→0} f(x)/x = a > 0，且f有连续一阶导数，可知f(0)=0，且f'(0)=a。
公式：f(0)=0, f'(0)=a
提示：极限存在且分母趋于0，分子必趋于0。
步骤 2/5
目标：得到f(1/n)的等价无穷小
由f'(0)=a，得f(1/n) ~ a/n (n→∞)。
公式：f(1/n) ~ a/n
提示：利用导数定义：f(1/n) ≈ f(0)+f'(0)*(1/n)=a/n。
步骤 3/5
目标：判断绝对值级数的敛散性
∑|(-1)^n f(1/n)| = ∑|f(1/n)|，其通项~ a/n，而∑ a/n发散，故绝对值级数发散。
公式：∑|f(1/n)| 发散
提示：与调和级数比较。
步骤 4/5
目标：判断原级数的收敛性
考虑交错级数∑(-1)^n f(1/n)。由于f'(0)=a>0，f在0附近单调递增，故f(1/n)单调递减（n充分大时），且f(1/n)→0，由莱布尼茨判别法，原级数收敛。
公式：莱布尼茨判别法
提示：验证单调递减和趋于0。
步骤 5/5
目标：综合结论
原级数收敛但绝对值级数发散，故条件收敛。
提示：条件收敛的定义。
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