kaoyan3basic 高等数学 第649题
📝 题目
### 第649题 649 设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n!)}{n^{p}}$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是 （A）$p>1$ ． （B）$p>2$ ． （C） $0
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\cdot\frac{a^n}{1+a^n}$条件收敛，则$\displaystyle \sum\frac{a^n}{n(1+a^n)}$发散（否则原级数绝对收敛）。考虑$a>0$。当$a=1$时，通项$\displaystyle \frac{(-1)^{n-1}}{n}\cdot\frac{1}{2}$，级数条件收敛（莱布尼茨）。当$a>1$时，$\displaystyle \frac{a^n}{1+a^n}\to1$，通项$\displaystyle \sim\frac{(-1)^{n-1}}{n}$，级数条件收敛。当$0
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析级数通项的行为
考虑级数 ∑ ln(n!)/n^p。利用斯特林公式 ln(n!) ~ n ln n - n，因此 ln(n!)/n^p ~ (n ln n)/n^p = ln n / n^{p-1}。级数收敛性由 ∑ ln n / n^{p-1} 决定。
公式：ln(n!) ~ n ln n - n
提示：当 n 很大时，用斯特林公式近似 ln(n!)
步骤 2/3
目标：判断 ∑ ln n / n^{p-1} 的收敛性
对于正项级数 ∑ ln n / n^α，当 α > 1 时收敛，α ≤ 1 时发散。这里 α = p-1，所以需要 p-1 > 1，即 p > 2。
公式：∑ ln n / n^α 收敛当且仅当 α > 1
提示：利用积分判别法或比较判别法
步骤 3/3
目标：得出结论
因此，原级数收敛当且仅当 p > 2。对应选项 B。
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