kaoyan3basic 高等数学 第657题
📝 题目
### 第657题 657 设常数 $\alpha>0, \beta>0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\beta^{n}}{n^{\alpha}}$ 的收敛性 （A）既与 $\alpha$ 又与 $\beta$ 的取值有关． （B）仅与 $\alpha$ 的取值有关． （C）仅与 $\beta$ 的取值有关． （D）与 $\alpha$ 及 $\beta$ 的取值都无关．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\beta^n}{n^\alpha}$，当$\beta<1$时，由根值判别法，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{\beta^n}{n^\alpha}}=\beta<1$，级数收敛；当$\beta>1$时，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\beta^n}{n^\alpha}=\infty$，级数发散；当$\beta=1$时，级数为$\displaystyle \sum\frac{1}{n^\alpha}$，收敛性与$\alpha$有关。 步骤2：因此收敛性主要取决于$\beta$，与$\alpha$无关（除$\beta=1$边界情况，但题目未指定边界，故一般性结论为仅与$\beta$有关）。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：判断级数收敛性与参数的关系
考虑级数 ∑ β^n / n^α。当 β < 1 时，使用根值判别法：lim (β^n / n^α)^(1/n) = β < 1，级数收敛。当 β > 1 时，通项趋于无穷，级数发散。当 β = 1 时，级数变为 ∑ 1/n^α，收敛性取决于 α。因此，收敛性主要取决于 β，与 α 无关（除边界情况）。
公式：根值判别法：lim sup |a_n|^(1/n) = ρ，ρ<1 收敛，ρ>1 发散。
提示：注意 β=1 是边界情况，但题目一般性结论为仅与 β 有关。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。