kaoyan3basic 高等数学 第658题
📝 题目
### 第658题 658 设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{4}\right)^{n} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} n a_{n}$ 是 （A）绝对收敛． （B）条件收敛． （C）发散． （D）收敛与否与 $a_{n}$ 有关．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：由$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{4}\right)^n a_n$收敛，得$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{5}{4}\right)^n a_n =0$，故存在$N$，当$n>N$时，$\displaystyle |a_n|<\left(\frac{4}{5}\right)^n$。 步骤2：则$\displaystyle |(-1)^n n a_n| = n|a_n| < n\left(\frac{4}{5}\right)^n$，而$\displaystyle \sum n\left(\frac{4}{5}\right)^n$收敛（比值判别法），故$\sum (-1)^n n a_n$绝对收敛。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：由已知级数收敛推出通项趋于0，并得到a_n的上界估计
由∑(5/4)^n a_n收敛，根据级数收敛的必要条件，通项趋于0，即lim (5/4)^n a_n = 0。因此存在正整数N，当n>N时，|(5/4)^n a_n| < 1，即|a_n| < (4/5)^n。
公式：lim_{n→∞} (5/4)^n a_n = 0 ⇒ 存在N，n>N时|a_n| < (4/5)^n
提示：注意收敛级数的通项必须趋于0，但反之不成立。
步骤 2/2
目标：利用比较判别法证明原级数绝对收敛
考虑级数∑|(-1)^n n a_n| = ∑ n|a_n|。当n>N时，n|a_n| < n(4/5)^n。而级数∑ n(4/5)^n收敛（可用比值判别法：lim (n+1)(4/5)^{n+1} / [n(4/5)^n] = 4/5 < 1）。由比较判别法，∑ n|a_n|收敛，故原级数绝对收敛。
公式：|(-1)^n n a_n| = n|a_n| < n(4/5)^n，且∑ n(4/5)^n收敛
提示：比较判别法需找到收敛的优级数，这里用几何级数乘以n。
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