kaoyan3basic 高等数学 第659题
📝 题目
### 第659题 659 下列命题成立的是 （A）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛时 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。 （B）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=\infty$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散时 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散． （C）若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} b_{n}=1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 中至少有一个发散． （D）若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} b_{n}=0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 中至少有一个收敛。
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：选项A反例：$\displaystyle a_n=\frac{1}{n^2}, b_n=\frac{1}{n}$，则$\displaystyle \lim\frac{a_n}{b_n}=0$，但$\sum b_n$发散。 步骤2：选项B反例：$\displaystyle a_n=\frac{1}{n}, b_n=\frac{1}{n^2}$，则$\displaystyle \lim\frac{a_n}{b_n}=\infty$，但$\sum a_n$发散，$\sum b_n$收敛。 步骤3：选项C正确：若$\lim a_n b_n=1$，则$\lim a_n \neq 0$且$\lim b_n \neq 0$，故$\sum a_n$和$\sum b_n$均发散（通项不趋于0）。 步骤4：选项D反例：$\displaystyle a_n=\frac{1}{n}, b_n=0$，则$\lim a_n b_n=0$，但$\sum a_n$发散，$\sum b_n$收敛。 **难度**：★★☆☆☆