kaoyan3basic 高等数学 第126题
📝 题目
### 第126题 $\displaystyle 126 \lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\left[\sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right)\right]^{n}+\left[\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{n}\right)\right]^{n}\right\}=$ （A）-1 ． （B） 1 ． （C）e． （D） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\frac{1}{n} + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\frac{1}{n}$，当$n\to\infty$时，$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right) \to \frac{\sqrt{2}}{2}$，其$n$次方趋于0。 步骤2：$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{n}\right) = \cos\frac{1}{n}$，当$n\to\infty$时，$\displaystyle \cos\frac{1}{n} \to 1$，其$n$次方极限为$1$。 步骤3：原极限$=0+1=1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简第一个正弦项
利用和角公式：sin(π/4 + 1/n) = sin(π/4)cos(1/n) + cos(π/4)sin(1/n) = (√2/2)(cos(1/n) + sin(1/n))。当n→∞时，cos(1/n)→1，sin(1/n)→0，所以sin(π/4+1/n)→√2/2 < 1，因此其n次方趋于0。
公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
提示：注意sin(π/4+1/n)的极限小于1，n次方趋于0。
步骤 2/3
目标：化简第二个正弦项
利用诱导公式：sin(π/2 + 1/n) = cos(1/n)。当n→∞时，cos(1/n)→1，且cos(1/n) = 1 - 1/(2n^2) + o(1/n^2)，所以[cos(1/n)]^n → e^0 = 1。
公式：sin(π/2+θ)=cosθ
提示：cos(1/n)的极限为1，其n次方极限为1。
步骤 3/3
目标：计算原极限
原极限 = 0 + 1 = 1。
提示：两个部分分别求极限后相加。
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