kaoyan3basic 高等数学 第127题
📝 题目
### 第127题 127 当 $n \rightarrow \infty$ 时，数列 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-\mathrm{e}$ 是 $\displaystyle \frac{1}{n}$ 的 （A）高阶无穷小。 （B）低阶无穷小。 （C）等价无穷小． （D）同阶但非等价无穷小。
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e^{n\ln(1+\frac{1}{n})} = e^{n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+O(\frac{1}{n^3})\right)} = e^{1-\frac{1}{2n}+O(\frac{1}{n^2})} = e\cdot e^{-\frac{1}{2n}+O(\frac{1}{n^2})} = e\left(1-\frac{1}{2n}+O(\frac{1}{n^2})\right)$。 步骤2：$\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^n - e = -\frac{e}{2n}+O(\frac{1}{n^2})$，故与$\displaystyle \frac{1}{n}$同阶但非等价。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将(1+1/n)^n表示为指数形式并展开
将(1+1/n)^n写成e^{n ln(1+1/n)}，然后对ln(1+1/n)进行泰勒展开：ln(1+1/n)=1/n - 1/(2n^2) + O(1/n^3)。代入得：n ln(1+1/n)=1 - 1/(2n) + O(1/n^2)。因此(1+1/n)^n = e^{1 - 1/(2n) + O(1/n^2)} = e * e^{-1/(2n) + O(1/n^2)}。
公式：ln(1+x)=x - x^2/2 + O(x^3) (x→0)
提示：注意泰勒展开的阶数要足够，以便后续比较无穷小的阶。
步骤 2/3
目标：进一步展开e^{-1/(2n)+O(1/n^2)}并计算差值
对e^{-1/(2n)+O(1/n^2)}进行泰勒展开：e^u=1+u+O(u^2)，其中u=-1/(2n)+O(1/n^2)。所以e^{-1/(2n)+O(1/n^2)} = 1 - 1/(2n) + O(1/n^2)。因此(1+1/n)^n = e(1 - 1/(2n) + O(1/n^2)) = e - e/(2n) + O(1/n^2)。于是(1+1/n)^n - e = -e/(2n) + O(1/n^2)。
公式：e^u = 1+u+O(u^2) (u→0)
提示：注意O(1/n^2)表示比1/n^2高阶的无穷小，不影响主部。
步骤 3/3
目标：比较无穷小的阶
得到(1+1/n)^n - e ~ -e/(2n) (当n→∞)，即与1/n同阶但非等价（因为系数不为1）。所以选D。
提示：同阶无穷小指比值趋于非零常数，等价无穷小指比值趋于1。
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