kaoyan3basic 高等数学 第128题
📝 题目
### 第128题 128 设 $\displaystyle u_{n}=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)$ ，则下列命题正确的是 （A） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ ． （B） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=A>0$ ． （C） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=+\infty$ ． （D） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}$ 不存在，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n} \neq+\infty$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$u_n$单调递增且有上界，因为$\displaystyle \ln u_n = \sum_{k=1}^n \ln(1+\frac{1}{2^k}) < \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} = 1$，故$u_n < e$。 步骤2：由单调有界准则，极限存在且为正数。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断数列单调性
由于每一项因子都大于1，所以u_n单调递增。
提示：注意每个因子(1+1/2^k) > 1，因此乘积递增。
步骤 2/3
目标：证明数列有上界
取对数：ln u_n = Σ ln(1+1/2^k) < Σ 1/2^k = 1，所以u_n < e。
公式：ln(1+x) < x (x>0)
提示：利用不等式ln(1+x) < x (x>0)放缩。
步骤 3/3
目标：应用单调有界准则
单调递增且有上界，故极限存在，且为正数。
提示：极限存在且大于0。
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